Question

【题目】（1）如图，小林同学想把一张矩形的纸沿对角线BD对折，对折后C点与C′点重合，BC和AD相交于E，请你用尺规作图的方法作出C′点，并保留作图痕迹．

（2）如图，已知在△ABC中，∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于E，求证：BE=(AC－AB)

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析

【解析】试题分析：（1）分别以B、D为圆心，以BC、CD的长为半径画弧，两弧的交点就是所要找的点C′；

（2）根据全等三角形的判定与性质，可得∠ABF=∠AFB，AB=AF，BE=EF，根据三角形外角的性质，可得∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF，根据角的和差、等量代换，可得∠CBF=∠C，根据等腰三角形的判定，可得BF=CF，根据线段的和差、等式的性质，可得答案．

试题解析：

（1）分别以B为圆心，以BC为半径画弧，以D为圆心，以DC为半径画弧，两弧在AD的上方相交于一点C′，

则C′为所要画的点. 保留作图痕迹。

（2）证明：延长BE交AC于F，如图所示：

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAE=∠FAE.

在△BAE和△FAE中，

∴△BAE≌△FAE，

∴∠ABF=∠AFB，BE=FE，AB=AF，

∴BE=BF，

∠ABC=∠ABF+∠FBC=∠AFB+∠FBC=（∠C+∠FBC）+∠FBC=∠C+2∠FBC，

又∵∠ABC=3∠C，

∴3∠C=∠C+2∠FBC，

∴∠FBC=∠C，

∴BF=CF，

∴BE=CF，

∵CF=AC－AF=AC－AB,

∴BE=CF=（AC－AB）.