Question

【题目】如图，直线y=x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα=．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求点B的坐标；

（3）求S△OAB．

Answer 1

【答案】(1) y=; (2) B的坐标为（6，2）;(3)9.

【解析】分析：（1）由点A在直线上，将x=3代入带直线解析式中求出a值，再由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k值，由此即可得出结论；
（2）设点B坐标为（x， ），利用正切的定义结合tanα= ，即可得出关于x的分式方程，解方程即可得出x的值，由此即可得出点B的坐标；
（3）设直线OB为y=kx，由点B的坐标利用待定系数法即可求出直线OB的解析式，过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，利用分割法结合三角形的面积公式即可得出结论．

详解：

（1）∵直线y=x与反比例函数的图象交于点A（3，a），

∴a=×3=4，

∴点A的坐标为（3，4），

∴k=3×4=12，

∴反比例函数解析式y= ．

（2）∵点B在这个反比例函数图象上，设点B坐标为（x， ），

∵tanα=，

∴=，解得：x=±6，

∵点B在第一象限，

∴x=6，

∴点B的坐标为（6，2）．

（3）设直线OB为y=kx，（k≠0），将点B（6，2）代入得：2=6k，

解得：k=，

∴OB直线解析式为：y=x．

过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如图所示：

则点C坐标为（3，1），

∴AC=3．

S△OAB的面积=S△OAC的面积+S△ACB的面积=×|AC|×6=9．

∴△OAB的面积为9．