Question

【题目】在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1．

（1）感知：如图①，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，易证：△ADE≌△ECF（不需要证明）；

（2）探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连接PF．求证：△PDE∽△ECF；

（3）应用：如图③，若EF交AB边于点F，其他条件不变，且△PEF的面积是3，则AP的长为________．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）2

【解析】

感知:先利用矩形性质得: ∠D=∠C=90°,再利用同角的余角相等得: ∠DAE=∠FEC,根据已知边的长度计算出AD=CE=3,则由ASA证得: △ADE≌△ECF;
探究:利用两角相等证明△PDE∽△ECF;
应用:作辅助线,构建如图②一样的相似三角形,利用探究得: △PDE∽△EGF,则,所以,再利用△PEF的面积是3,列式可得:PE·EF=6,两式结合可求得PE的长,利用勾股定理求PD,从而得出AP的长.

（1）证明：感知：如图①，∵四边形ABCD为矩形，

∴∠D=∠C=90°，

∴∠DAE+∠DEA=90°，

∵EF⊥AE，

∴∠AEF=90°，

∴∠DEA+∠FEC=90°，

∴∠DAE=∠FEC，

∵DE=1，CD=4，

∴CE=3，

∵AD=3，

∴AD=CE，

∴△ADE≌△ECF（ASA）

（2）探究：如图②，∵四边形ABCD为矩形，

∴∠D=∠C=90°，

∴∠DPE+∠DEP=90°，

∵EF⊥PE，

∴∠PEF=90°，

∴∠DEP+∠FEC=90°，

∴∠DPE=∠FEC，

∴△PDE∽△ECF

（3）应用：解：如图③，过F作FG⊥DC于G，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AB∥CD，

∴FG=BC=3，

∵PE⊥EF，

∴S△PEF=PEEF=3，

∴PEEF=6，

同理得：△PDE∽△EGF，

∴=，

∴=，

∴EF=3PE，

∴3PE2=6，

∴PE=±，

∵PE＞0，

∴PE=，

在Rt△PDE中，由勾股定理得：PD==1，

∴AP=AD﹣PD=3﹣1=2.