Question

【题目】如图，在正方形ABCD中．

（1）若点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由；
（2）若P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点，PQ与MN相交，且PQ=MN，问PQ⊥MN成立吗？为什么？

Answer 1

【答案】（1）DE=CF，DE⊥CF．理由见解析；（2）MN⊥PQ成立，理由见解析；

【解析】

（1）由已知易得△DAE≌△CDF，故有DE=CF．
（2）由点N，Q分别向AB，AD作垂线，构造两直角三角形全等，由角的等量代换，易得QP⊥MN．

（1）在正方形ABCD中，AD=DC，AE=DF，∠EAD=∠FDC，

所以△EAD≌△FDC，故DE=CF，
∴∠EDA=∠FCD，
又∵∠DCF+∠DFC=90°，
∴∠ADE+∠DFC=90°，
∴∠DGF=90°
即DE⊥CF．
（2）由点N，Q分别向AB，AD作垂线，

∵PQ=MN，RN=SQ，
∴△MNR≌△QPS（HL），
∴∠PQS=∠MNR，又∠1+∠PQS=90°，
所以∠1+∠MNR=90°，即MN⊥PQ．