Question

【题目】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，

∴AE=DE，BD=CD，

在△AFE和△DBE中

∴△AFE≌△DBE（AAS），

∴AF=BD，

∴AF=DC．

（2）解：四边形ADCF是菱形，

证明：AF∥BC，AF=DC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，

∴AD= BC=DC，

∴平行四边形ADCF是菱形．

【解析】（1）由平行线的性质可知：AF∥BC，得到∠AFE=∠DBE，又E是AD的中点，AD是BC边上的中线，得到AE=DE，BD=CD，所以△AFE≌△DBE（AAS），AF=BD，即AF=DC；（2）AF∥BC，AF=DC，根据平行四边形的定义得到四边形ADCF是平行四边形，又AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，得到AD= BC=DC，根据菱形的定义得到平行四边形ADCF是菱形．