Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．

（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C（0，3），即OC=3，BC=5，

∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得：OB= =4，即B（4，0），

把B与C坐标代入y=kx+n中，得： ，

解得：k=﹣ ，n=3，

∴直线BC解析式为y=﹣ x+3；

由A（1，0），B（4，0），设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4）=ax2﹣5ax+4a，

把C（0，3）代入得：a= ，

则抛物线解析式为y= x2﹣ x+3

（2）解：存在．

如图所示，分两种情况考虑：

∵抛物线解析式为y= x2﹣ x+3，

∴其对称轴x=﹣ =﹣ = ．

当P1C⊥CB时，△P1BC为直角三角形，

∵直线BC的斜率为﹣ ，

∴直线P1C斜率为 ，

∴直线P1C解析式为y﹣3= x，即y= x+3，

与抛物线对称轴方程联立得 ，

解得： ，

此时P（ ， ）；

当P2B⊥BC时，△BCP2为直角三角形，

同理得到直线P2B的斜率为 ，

∴直线P2B方程为y= （x﹣4）= x﹣ ，

与抛物线对称轴方程联立得： ，

解得： ，

此时P2（ ，﹣2）．

综上所示，P1（ ， ）或P2（ ，﹣2）．

当点P为直角顶点时，设P（ ，y），

∵B（4，0），C（0，3），

∴BC=5，

∴BC2=PC2+PB2，即25=（ ）2+（y﹣3）2+（ ﹣4）2+y2，解得y= ，

∴P3（ ， ），P4（ ， ）．

综上所述，P1（ ， ），P2（ ，﹣2），P3（ ， ），P4（ ， ）．

【解析】（1）利用勾股定理求出B坐标，再把A、C坐标代入解析式即可；（2）“以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形”须分类讨论：点P为直角顶点；点C为直角顶点；点B为直角顶点；分别过C、B作垂线与对称轴相交，当P为直角顶点时，可利用勾股定理列方程.