Question

【题目】请解答下列各题：

（1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为_______，如果，那么_______．

（2）若点表示的整数为，则当________时，．

（3）要使取最小值时，相应的的取值范围是________，最小值是________．

（4）已知，则的最大值为_______，最小值为_______．

（5）若，则的取值范围是_______．

Answer 1

【答案】（1）3或-7；（2）-1；（3）-3≤x≤2，5；（4）5，-4；（5）x≤-或x＞．

【解析】

（1）根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|，求出数轴上表示x和-2的两点A和B之间的距离是|x+2|，然后根据|AB|=5，可得|x+2|=5，据此求出x的值是多少即可；
（2）根据绝对值的意义得：x+4=x-2或x+4=2-x，分别解方程即可；
（3）根据绝对值的意义即可得到结论；
（4）因为|x+2|+|x-1|+|y+1|+|y-2|=6，又因为|x+2|+|x-1|的最小值为3，|y-2|+|y+1|的最小值为3，所以-2≤x≤1，-1≤y≤2，由此不难得到答案；
（5）根据绝对值的意义得：|x-|-|x+|=2或|x-|-|x+|=-2，再分两种情况计算可得结论．

（1）|AB|=|x+2|，
∴|x+2|=5，
则x+2=±5，
x=3或-7；
故答案为：3或-7；
（2）∵|x+4|=|x-2|，
∴x+4=x-2或x+4=2-x，
x=-1，
故答案为：-1；
（3）根据绝对值的定义，|x+2|+|x-3|可表示为x到-2与3两点距离的和，
所以当-3≤x≤2时，|x+3|+|x-2|的值即为2与-3两点间的距离，此时最小，最小值为|2-（-3）|=5，
故答案为：-3≤x≤2，5；
（4）∵|x+2|+|x-1|+|y+1|+|y-2|=6，
又∵|x+2|+|x-1|的最小值为3，|y-2|+|y+1|的最小值为3，
∴-2≤x≤1，-1≤y≤2，
∴代数式x+2y的最大值是5，最小值是-4．
故答案为：5，-4．
（5）||2x-1|-|2x+3||=4，两边都除以2得：
||x-|-|x+||=2，
∴|x-|-|x+|=2或|x-|-|x+|=-2，
|x-|表示数轴上数x的点到的点之间的距离，
|x+|表示数轴上表示数x的点到表示数-点之间的距离，
①若|x-|-|x+|=2，
当x≤-时， -x+x+=2，符合题意，
当-＜x≤时， -x-x-=2，x=-，不符合题意，
当x＞时，x--x-=-2，不符合题意；
②若|x-|-|x+|=-2，
当x≤-时， -x+x+=2，不符合题意，
当-＜x≤时， -x-x-=2，x=-，不符合题意，
当x＞时，x--x-=-2，符合题意；
综上，x的取值范围是：x≤-或x＞，
故答案为：x≤-或x＞．