Question

【题目】为积极支持鄂州市创建国家卫生城市工作，某商家计划从厂家采购A，B两种清洁产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的相关信息如下表所示．

采购数量（件）	2	4	6	…
A产品单价（元）	1460	1420	1380	…
B产品单价（元）	1280	1260	1240	…

（1）设B产品的采购数量为x（件），采购单价为y1（元/件），求y1与x的关系式；
（2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的 ，且B产品采购单价不高于1250元，求该商家共有几种进货方案？
（3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完，在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大？并求最大利润．

Answer 1

【答案】
（1）解：设y1=kx+b，

根据题意，得： ，

解得： ，

∴y1=﹣10x+1300

（2）解：根据题意，得： ，

解得：5≤x≤9，

∵x为整数，

∴x可取的整数值为5、6、7、8、9，

∴该商家共有5种进货方案

（3）解：设A产品的销售单价y2与销售数量a之间的函数关系式为y2=ma+n，

由题意，得： ，

解得： ，

则y2=﹣20a+1500，

∵a=20﹣x，

∴y2=﹣20（20﹣x）+1500=20x+1100，

令总利润为W，

则W=（1760﹣y2）（20﹣x）+（1700﹣y1）x

=（1760﹣20x﹣1100）（20﹣x）+（1700+10x﹣1300）x

=30x2﹣660x+13200

=30（x﹣11）2+9570，

∵当x＜11时，W随x的增大而减小，

∴当x=5时，W取得最大值，最大值为30×36+9570=10650，

此时A产品的销售数量20﹣x=15，

答：采购A种产品15件时总利润最大，最大利润为10650元．

【解析】（1）设y1与x的关系式y1=kx+b，由表列出k和b的二元一次方程，求出k和b的值，即得y1与x的关系式；
（2）首先根据题意列不等式组求出x的取值范围，结合x为整数，即可判断出商家的几种进货方案；
（3）令总利润为W，根据利润=售价-成本列出W与x的函数关系式，把一般式写成顶点坐标式，求出二次函数的最值即可求出最大利润．