Question

【题目】小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在中，，平分，为直线上一点，，为垂足，的平分线交直线于点，回答下列问题并说明．（可在图上标注数字角）

（1）如图①，为边上一点，则、的位置关系是________．请给予证明；

（2）如图②，为边反向延长线上一点，则、的位置关系是________．（请直接写出结论）

（3）如图③，为边延长线上一点，则、的位置关系是________．请给予证明．

Answer 1

【答案】（1），见解析；（2）；（3），见解析

【解析】

（1）根据∠A=90°，,得∠CME=∠ABC，再由四边形内角和知∠ABC+∠AME=180°，再由BD平分∠ABC，ME平分∠AME可得，，即得到，

（2）由题意可以得到∠AME=∠ABC，又由BD平分∠ABC，ME平分∠AME可以得到∠AMF=∠ABD，即可得到∠AMF+∠ADB=90°即可得到，

（3）先根据题意延长BD交EF于N，根据题意得出∠ABD=∠DMN，再根据三角形内角和即可得出．

解：（1）

证明：∵，

∴；

∵在四边形中，，

∴；

∵平分，

∴；

同理，

∴；

∵，

∴，

∴，

∴．

（2）

（3）

证明：延长交于点，

在与中

∵与为对顶角，

∴；

∵，

∴；

∵，分别平分，，

∴，，

∴；

在与中

，

∵与为对顶角，

∴，

∴，

∴．