Question

【题目】定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作dC﹣AB＝n．理解：如点C是AB的中点时，即AC＝AB，则dC﹣AB＝；反过来，当dC﹣AB＝时，则有AC＝AB．因此，我们可以这样理解：dC﹣AB＝n与AC＝nAB具有相同的含义．

应用：（1）如图1，点C在线段AB上，若dC﹣AB＝，则AC＝　 　AB；若AC＝3BC，则dC﹣AB＝　 　；

（2）已知线段AB＝10cm，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为ts．

①若点P、Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示dP﹣AB和dQ﹣AB，并判断它们的数量关系；

②若点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回，则当t为何值时，dP﹣AB+dQ﹣AB＝？

拓展：如图2，在三角形ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，点P、Q同时从点A出发，点P沿线段AB匀速运动到点B，点Q沿线段AC，CB匀速运动至点B．且点P、Q同时到达点B，设dP﹣AB＝n，当点Q运动到线段CB上时，请用含n的式子表示dQ﹣CB．

Answer 1

【答案】应用：（1）；；（2）①dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝，dP﹣AB+dQ﹣AB＝1；②t＝4或；拓展：dQ﹣CB＝．

【解析】

应用：（1）根据dC﹣AB＝n与AC＝nAB具有相同的含义，进行解答即可；

（2）①用含t的式子先表示出AP，AQ，再由定义可求解；

②分t＜5与t≥5两种情况，根据定义可得dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝（t＜5），dQ﹣AB＝（t≥5），由dP﹣AB+dQ﹣AB＝，列出方程即可求解；

拓展：设运动时间为t，由题意点P、Q同时到达点B，可设点P的速度为3x，点Q速度为5x，可得dP﹣AB＝n＝，dQ﹣CB＝，求解即可．

解：应用：（1）∵dC﹣AB＝，∴AC＝AB，

∵AC＝3BC，∴AC＝AB，∴dC﹣AB＝，

故答案为：；；

（2）①∵点P、Q的运动速度均为1cm/s，

∴AP＝tcm，AQ＝（10﹣t）cm，

∴dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝，

∴dP﹣AB+dQ﹣AB＝＝1；

②∵点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，

∴AP＝tcm，

当t＜5时，AQ＝（10﹣2t）cm，

∴dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝，

∵dP﹣AB+dQ﹣AB＝，∴＝，解得t＝4；

当t≥5时，AQ＝（2t﹣10）cm，

∴dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝，

∵dP﹣AB+dQ﹣AB＝，∴＝，解得t＝；

综上所述，t＝4或；

拓展：设运动时间为t，

∵点P、Q同时到达点B，AB=12，AC+BC=20，

∴点P的速度:点Q速度＝3:5，

设点P的速度为3x，点Q速度为5x，

∴dP﹣AB＝n＝，dQ﹣CB＝，

∴xt=4n，

∴dQ﹣CB＝＝．