Question

【题目】下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，请根据图中的信息完成下列的问题：

（1）填写下表：

图形编号	①	②	③	④	……
图中石子的总数					……

（2）第30个图形需要用 颗石子；

（3）如果继续摆放下去，那么第个图案要用 颗石子；

（4）该同学准备用300颗石子来摆放第个图案，摆放成完整的图案后，第个图案 能否刚好用完这300颗石子？如果可以，求出的值，如果不能，求出的最大值以及至少还剩余多少颗石子．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）1020个；（3）m（m+4）；（4）不能，15，15

【解析】

（1）根据数图形中点的个数，可得答案；
（2）根据观察，可发现规律：第m个图形中点的个数为m（m+4），可得答案；
（3）根据规律：第m个图形中点的个数为m（m+4），可得答案；
（4）根据规律：第m个图形中点的个数为m（m+4），可得答案．

解：（1）第一个是1×（1+4）=5，第二个是2×（2+4）=12，第三个是3×（3+4）=21，第四个是4×（4+4）=32，

图形编号	①	②	③	④	……
图中石子的总数	5	12	21	32	……

（2）第30个图形是30×（30+4）=1020个；
（3）观察图形的变化，可知
第1个图案要用的石子数为1+22；
第2个图案要用的石子数为3+32；
第3个图案要用的石子数为5+42；
第4个图案要用的石子数为7+52；
…
∴第m个（m为正整数）图案要用的石子数为（2m-1）+（m+1）2= m（m+4）；
（4）当m=15时，有15×（15+4）=285，
当m=16时，有16×（16+4）=320＞300，
故不能刚好用完这300颗石子，
∴m最大值为15，至少还剩15颗石子．