【题目】在平面宜角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴，y轴交于点A，B．第一象限内有一点P（m，n），正实数m，n满足4m+3n=12

（1）连接AP，PO，△APO的面积能否达到7个平方单位？为什么？

（2）射线AP平分∠BAO时，求代数式5m+n的值；

（3）若点A′与点A关于y轴对称，点C在x轴上，且2∠CBO+∠PA′O=90°，小慧演算后发现△ACP的面积不可能达到7个平方单位．请分析并评价“小薏发现”．

参考答案：

【答案】（1）不能；（2）9；（3）见解析.

【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，由△APO的面积等于7个平方单位可求出n值，代入4m+3n=12中可求出m值为负，由此可得出△APO的面积不能达到7个平方单位；

（2）设AP与y轴交于点E，过点E作EF⊥AB于点F，利用面积法及角平分线的性质可求出点E的坐标，由点A，E的坐标，利用待定系数法可求出直线AP的解析式，由m，n满足4m+3n=12可得出直线BP的解析式，联立直线AP，BP的解析式成方程组，通过解方程组可求出m，n的值，再将其代入5m+n中即可得出结论；

（3）当点C在x轴正半轴时，由2∠CBO+∠PA′O=90°可得出BC平分∠OBA′，同（2）可求出C的坐标，进而可求出AC的长，利用三角形的面积公式可求出△ACB的面积，由该值大于7可得出：存在点P，使得△ACP的面积等于7个平方单位；当点C在x轴正半轴时，利用对称可得出点C的坐标，进而可求出AC的长，利用三角形的面积公式可求出△ACB的面积，由该值小于7可得出：此种情况下，△ACP的面积不可能达到7个平方单位．综上，此题得解．

（1）△APO的面积不能达到7个平方单位，理由如下：

当y=0时，x+4=0，解得：x=-3，

∴点A的坐标为（-3，0）．

∴S△APO=OAn=7，即n=7，

∴n=．

又∵4m+3n=12，

∴m=-2，这与m为正实数矛盾，

∴△APO的面积不能达到7个平方单位．如图1，

（2）设AP与y轴交于点E，过点E作EF⊥AB于点F，如图2所示．

当x=0时，y=x+4=4，

∴点B的坐标为（0，4），

∴AB==5．

∵AP平分∠BAO，

∴EO=EF．

∵S△ABE=BEOA=ABEF，S△AOE=EOOA，

∴，即，

∴EO=，

∴点E的坐标为（0，）．

设直线AP的解析式为y=kx+b（k≠0），

将A（-3，0），E（0，）代入y=kx+b，得：

，解得：，

∴直线AP的解析式为y=x+．

∵点P的坐标为（m，n），m，n满足4m+3n=12，

∴点P在直线y=-x+4上．

联立直线AP，BP的解析式成方程组，得：

，

解得：，

∴m=，n=，

∴5m+n=9．

（3）“小薏发现”不对，理由如下：

依照题意，画出图形，如图3所示．

∵2∠CBO+∠PA′O=90°，∠OBA′+∠PA′O=90°，

∴∠OBA′=2∠CBO．

∵点A′与点A关于y轴对称，

∴点A′的坐标为（3，0），点P在线段BA′上．

当点C在x轴正半轴时，BC平分∠OBA′，

同（2）可得出：，即，

∴OC=，

∴点C的坐标为（，0），

∴AC=．

∵S△ACB=ACOB=××4=＞7，

∴不存在点P，使得△ACP的面积等于7个平方单位；

当点C在x轴负半轴时，点C的坐标为（-，0），

∴AC=．

∵S△ACB=ACOB=××4=＜7，

∴此种情况下，△ACP的面积不可能达到7个平方单位．

综上所述：“小薏发现”不正确．

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