Question

【题目】如图1，已知点A（﹣1，0），点B（0，﹣2），AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线y=经过C，D两点且D（a，4）、C（2，b）．

（1）求a、b、k的值；

（2）如图2，线段CD能通过旋转一定角度后点C、D的对应点C′、D′还能落在y=的图象上吗？如果能，写出你是如何旋转的，如果不能，请说明理由；

（3）如图3，点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）a=1，k=4，b=2　　（2）能　　（3）P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）．　

【解析】（1）如图1，过点D做DP⊥y轴于点P，由△PDE≌△OAE（ASA），PD=OA，求出点D坐标，即可解决问题；

（2）能，点C、D绕点O顺时针旋转180度时，点C′、D′落在y=图象上．或点C、D关于原点中心对称的点在图象上；

（3）分两种情形分别求解①当AB为边时，如图1中，若四边形ABPQ为平行四边形，则=0；如图2中，若四边形ABQP是平行四边形时，AP=BQ，且AP∥BQ，求点P坐标，即可解决问题；②如图3中，当AB为对角线时，AP=BQ，AP∥BQ，求出点P坐标，即可解决问题．

解：（1）如图1，过点D做DP⊥y轴于点P，

∵点E为AD的中点，

∴AE=DE．

又∵DP⊥y轴，∠AOE=90°，

∴∠DPE=∠AEO．

∵在△PDE与△OAE中，

∠DPE=∠AOE，PE=OE，∠PED=∠OEA，

∴△PDE≌△OAE（ASA），

∴PD=OA，

∵A（﹣1，0），

∴PD=1，

∴D（1，4）．

∵点D在反比例函数图象上，

∴k=xy=1×4=4．

∵点C在反比例函数图象上，C的坐标为（2，b），

∴b==2，

∴a=1，k=4，b=2；

（2）能，点C、D绕点O顺时针旋转180度时，点C′、D′落在y=图象上．或点C、D关于原点中心对称的点在图象上；

（3）∵由（1）可知k=4，

∴反比例函数的解析式为y=，

∵点P在y=上，点Q在y轴上，

∴设Q（0，y），P（x， ）．

①当AB为边时，如图1中，若四边形ABPQ为平行四边形，则=0，

解得x=1，此时P1（1，4），Q1（0，6）．

如图2中，若四边形ABQP是平行四边形时，AP=BQ，且AP∥BQ，

此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）．

②如图3中，当AB为对角线时，AP=BQ，AP∥BQ，

此时P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2），

综上所述，满足条件的P、Q坐标分别为P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）．

“点睛”本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大．