Question

【题目】如图（1），在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是AD的中点，N是BC延长线上一点，连结PN，过点P作PN的垂线，交AB于点E，交CD的延长线于点F，连结EN，FN，设CN=x，AE=y．

（1）求证：PE=PF；
（2）当0＜x＜ 时，求y关于x的函数表达式；
（3）若将“矩形ABCD”变为“菱形ABCD”，如图（2），AB=BC=4，∠B=60°，当0＜x＜3时，其它条件不变，求此时y关于x的函数表达式．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵P是AD的中点，四边形ABCD是矩形，

∴AP=DP，∠A=∠PDF=90°，

在△APE和△DPF中，

∵ ，

∴△APE≌△DPF（ASA），

∴PE=PF

（2）

解：如图1，过点N作NQ⊥AD交AD延长线于Q，

∴四边形CDQN是矩形，

∴CN=DQ=x，CD=NQ=4，

又∵AD=BC=6，P是AD中点，

∴AP=PD=3，

∴PQ=3+x，

∵NP⊥EF，

∴∠APE+∠NPQ=90°，

∵∠APE+∠AEP=90°，

∴∠NPQ=∠PEA，

∵∠A=∠PQN=90°，

∴△APE∽△QNP，

∴ ，即 ，

∴y= x+

（3）

解：如图2，过点N作NQ∥CD交AD延长线于点Q，

∴四边形CDQN是平行四边形，

∴CN=DQ=x，CD=NQ=4，

∵PD=PA= AD=2，

∴PQ=2+x，

过点N作NH⊥PQ于H，

∵∠DQN=∠DCN=∠B=60°，

∴HQ=NQcos∠DQN=4× =2，NH=NQsin∠DQN=4× =2 ，

∴PH=PQ﹣HQ=x，

过点E作EG⊥DA交DA延长线于G，

∵AE=y，∠GAE=∠B=60°，

∴AG=AEcos∠GAE= y，EG=AEsin∠GAE= y，

∴PG=PA+AG=2+ y，

∵∠EGP=∠PHN=∠EPN=90°，

∴∠EPG+∠PEG=∠EPG+∠NPD=90°，

∴∠PEG=∠NPD，

∴△PEG∽△NPD，

∴ ，即 ，

∴y=

【解析】（1）证△APE≌△DPF即可得；（2）过点N作NQ⊥AD交AD延长线于Q，可得四边形CDQN是矩形，从而表示出PQ、NQ的长，再证△APE∽△QNP可得 ，据此可得函数解析式；（3）过点N作NQ∥CD交AD延长线于点Q，可得四边形CDQN是平行四边形，据此知PQ=2+x、NQ=4，再过点N作NH⊥PQ于H，由∠DQN=60°得HQ=2、NH=2 ，从而表示出PH的长，过点E作EG⊥DA交DA延长线于G，由AE=y、∠GAE=∠B=60°得AG、EG的长，继而可得PG的长，最后证△PEG∽△NPD得 ，据此即可得答案．