Question

【题目】初步探究

如图①，过点P的两条直线分别与⊙O相切于点Ａ，与⊙O相交于B、C两点，且AC恰好经过圆心O．求证△PAB∽△PCA．

进一步探究

如图②若其他条件不变，但AC不经过圆心O．上述结论是否成立？请说明理由．

尝试应用

如图③，PA＝3，PB＝，⊙O的半径为2，请直接写出直线PC上一点与圆心O的最短距离．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）成立.理由见解析（3）1．

【解析】试题分析：(1)、根据切线的性质得出∠PAB+∠BAC=90°，根据直径的性质得出∠BAC+∠C=90°，从而得出∠PAB=∠C，结合公共角得出三角形相似；(2)、连接AO，延长AO交⊙O于D，连接BD，然后根据第一题相似的方法得出三角形相似；(3)、当AC为直径时以及三角形相似得出最短距离.

试题解析：（1）∵PA与⊙O相切， ∴∠PAC＝90° ∴∠1＋∠PAB＝90°．

∵AC是⊙O的直径 ∴∠1＋∠C＝90° ∴∠PAB＝∠C 又∵∠P＝∠P ∴△PAB∽△PCA

（2）成立.连接AO，延长AO交⊙O于D，连接BD．

∵PA与⊙O相切 ∴∠PAD＝90° ∴∠1＋∠PAB＝90° ∵AD是⊙O的直径

∴∠1＋∠D＝90° ∴∠PAB＝∠D 又∵∠C＝∠D ∴∠PAB＝∠C

又∵∠P＝∠P ∴△PAB∽△PCA．

（3）1．