Question

【题目】如图，已知等边的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合)，直线是经过点P的一条直线，把沿直线折叠，点B的对应点是点.

(1)如图1，当时，若点恰好在AC边上，则的长度为　　　　；

(2)如图2，当时，若直线，则的长度为　　　　；

(3)如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线始终垂直于AC，的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；

(4)当时，在直线变化过程中，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）长度为4；（2）长度为5；（3）△的面积不变化为16，理由见解析；（4）△的面积的最大值为24+4，理由见解析.

【解析】

（1）连接，由于折叠则△为等边三角形，即可求出的长度；（2）记与BC交于点D，连接和，△BPD和△为边长等于5的等边三角形，所以为两边长为5的等边三角形的高之和，求出即可；（3）因为⊥AC， ∥，则到AC的距离始终等于B到AC的距离（平行线之间的距离处处相等），的面积和△ABC的面积相等，算出即可；（4）由题意知=PB=6,所以始终在以P点为圆心，6为半径的圆上运动，要使得△面积最大，只要AC边上的高最大，如图，当经过圆心P时，最大，算出其面积即可.

（1）连接，

∵等边的边长为8，PB=4，

∴AP==4，∠PAC=60°，

∴△为等边三角形，

∴=4；

（2）记与BC交于点D，连接和，

∵∥BC，=BP=5，

∴△BPD为边长等于5的等边三角形，

所以PD==5，∠=∠BPD=60°，

∴△为边长等于5的等边三角形，

由折叠知⊥，

∴为两边长为5的等边三角形的高之和，

则=；

（3）△的面积不变化，理由如下：

∵⊥AC， ∥，

∴到AC的距离始终等于B到AC的距离（平行线之间的距离处处相等），

∴S△ACB’=S△ABC=×82=；

（4）由题意知=PB=6,所以始终在以P点为圆心，6为半径的圆上运动，要使得△面积最大，只要AC边上的高最大，如图，当经过圆心P时最大，

∵∠BAC=60°，

∴AE=AP=1，PE=AE=，=+6，

此时S△ACB’的最大值为×AC×=×8×（+6）=+24