Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C、D两点均在⊙O上，过点C作CE⊥AD于点E，且AC平分∠BAD.

（1）求证：CE为⊙O的切线；

（2）连结BD交AC于点F，若CF=5，sin∠CAD=，求线段BD的长.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】分析：（1）连结OC交BD于点G．证明∠ECA+∠ACO=90°即可得到结论；

（2）设DF=3x，则AF=5x，AD=4x．由∠CAD=∠ACO，得到sin∠FCG=．进而表示出BG，OG，OB．在Rt△OBG中，由勾股定理得到OB2=OG2+BG2，解方程即可得出结论．

详解：（1）连结OC交BD于点G．

∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAB．

又∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO．

又∵CE⊥AD， ∴∠E=90°，∴∠EAC+∠ECA=90°，

∴∠ECA+∠ACO=90°，∴CE为⊙O的切线．

（2）设DF=3x，则AF=5x，AD=4x．

又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD∥CE，∴OC⊥BD．

又∵∠CAD=∠ACO，∴sin∠FCG=．

又∵CF=5，∴CG=4，FG=3，∴DG=BG=3x+3．

又∵OC∥AE，∴OG=AD=2x，∴OC=OB=4+2x．

在Rt△OBG中，OB2=OG2+BG2，∴(4+2x)2=(2x)2+(3x+3)2 ，

∴x=或-1．

又∵x>0，∴x=，∴BD=2BG=．