Question

【题目】已知长方形ABCD中，AD=10cm,AB=6cm,点M在边CD上，由C往D运动，速度为1cm/s，运动时间为t秒，将△ADM沿着AM翻折至△ADM，点D对应点为D，AD所在直线与边BC交于点P.

（1）如图1，当t=0时，求证：PA=PC；

（2）如图2，当t为何值时，点D恰好落在边BC上；

（3）如图3，当t=3时，求CP的长.

（

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）

【解析】

（1）由折叠性质可得ADCA DC可得∠DAC=∠DAC, 在长方形ABCD中，AD//BC,可得 ∠DAC=∠BCA,从而得到∠DAC=∠BCA，即可得出结论。

（2）由折叠性质可得ADCA DC可得DM=DM=6-t，AD=A D=10，根据勾股定理可得B D=8则C D=2,在RtCM D中，根据勾股定理列出方程即可。

（3）当t=3时，CM=DM=3, 连接PM，根据HL证得M DPMCP,可得DP=PC, ∠DMP=∠CMP, 由折叠性质可得得出∠AMD=∠AMD,从而证得∠AMP=90,再根据ADMMDP即可。

（1）当t=0时，M与C重合

由折叠性质可得ADCA DC

∴∠DAC=∠DAC,

在长方形ABCD中，AD//BC,

∴ ∠DAC=∠BCA

∴∠DAC=∠BCA，

∴PA=PC；

（2）由折叠性质可得ADCA DC

∴DM=DM=6-t，AD=A D=10，

在RtABD中，B D==8

∴DC=BC- B D=10-8=2cm

在RtCMD中，

∴

解得：t=

∴当t=时，点D恰好落在边BC上；

（3）当t=3时，CM=DM= DM=3,

由折叠性质可得：∠ADM=∠D=90

连接PM，

在RtM DP和RtMCP中

∴M DPMCP,

∴DP=PC, ∠DMP=∠CMP,

∵∠AMD=∠AMD

∴∠PMD+∠AMD=90

∵∠MAP +∠AMD=90

∴∠PMD=∠MAP

∵∠ADM=∠PDM

∴M DAP DM

∴

∴= P D. A D

∴= P D.10

∴P D=

∴CP=