Question

【题目】将一副三角板与（其中，，，）如图摆放，中所对直角边与斜边恰好重合．以为直径的圆经过点，且与交于点，分别连接，．

（1）求证：平分；

（2）求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据圆周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；

（2）设AB与CE交于点M．根据角平分线的性质得出．易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．证明△AFM∽△BGM，根据相似三角形对应边成比例得出，进而求出．

试题解析：（1）证明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，

∴∠BAC=∠ABC=45°，

∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，∴∠AEC=∠BEC，

即EC平分∠AEB；

（2）如图，设AB与CE交于点M．

∵EC平分∠AEB，∴．

在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，

∴∠BAD=30°，

∵以AB为直径的圆经过点E，∴∠AEB=90°，

∴tan∠BAE=，∴AE=BE，∴=．

作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．

在△AFM与△BGM中，

∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，∴△AFM∽△BGM，

∴，∴．