Question

【题目】如图，以△ABC的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，连接DE.若M为BC中点，MA延长线交DE于点H，

(1) 求证：AH⊥DE.

(2) 若DE=4，AH=3，求△ABM的面积

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3

【解析】

（1）延长AM至点F，使MF=AM，连接BF，直接证明△AMC≌△FMB，然后通过角度转换得到∠FBA=∠DAE，再证明FBA≌△EAD，即可求得∠AHE=90°；（2）DE=4，AH=3，求出S△ADE，从而得出S△ABC，M为BC的中点，即可求得△ABM的面积.

（1）延长AM至点F，使MF=AM，连接BF，

∵M为BC的中点，∠AMC=∠BMF，

在△AMC和△FMB中

∴△AMC≌△FMB（SAS）

∴∠BFM=∠MAC，∠FBM=∠MCA，BF=CA,

△ABD和△ACE都为等腰直角三角形，

∴∠DAE=180°-∠BAC，

∴∠FBA=∠DAE，

在△FBA和△EAD中

∴△FBA≌△EAD（SAS），

∴∠BFA=∠AED，

∵∠EAC=90°，

∴∠MAC+∠HAE=90°，

∴∠HAE+∠DEA=90°，

∴∠AHE=90°，

∴AH⊥DE；

（2）∵DE=4，AH=3，

∴S△ADE=3×4÷2=6，

∴S△FBA=6，即S△ABC=6，

∵M为BC的中点，

∴S△ABM=3