Question

【题目】在平面直角坐标系中，三角形△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，BC交x轴于点D.

(1)若A(-4，0)，C(0，2)，求点B的坐标；

(2)若∠EDB=∠ADC，问∠ADE与∠CAD满足怎样的关系？并证明.

(3)若AD平分∠BAC，A(-4，0)，D(m，0)，B的纵坐标为n，试探究m、n之间满足怎样的关系？

Answer 1

【答案】（1）（2，-2）；（2）∠ADE=2∠CAD；（3）（4+n）2=4m

【解析】

（1）作BE垂直于y轴于点E，证明△ACO≌△CBE，再通过A，C的坐标求出B点坐标即可；（2）∠ADC为△ADB的外角，则∠ADC=∠B+∠DAB，∠AFD是△DFB的外角，∠AFD=∠B+∠EDB，再通过角度转换得到∠ADE与∠CAD的关系即可（3）作BE垂直于y轴于点E，证明△ACO≌△CBE，再由AD为角平分线，则△COD∽△AOH，通过相似比列出m，n的关系式即可.

（1）作BE垂直于y轴于点E，

∵∠ACO+∠ECB=90°，∠ACO+∠CAO=90°，

∴∠CAO=∠BCE，

在△ACO和△CBE中

∴△ACO≌△CBE（AAS）

∵A(-4，0)，C(0，2)，

∴BE=CO=2，CE=AO=4，

∴OE=2，

∴点B的坐标为（2，-2）；

（2）AB，ED的交点记为F，

∠ADC为△ADB的外角，

则∠ADC=∠B+∠DAB，

∵∠ADC=∠EDB，

∴∠EDB=∠B+∠DAB，

∵∠AFD是△DFB的外角，

∴∠AFD=∠B+∠EDB，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠B=∠CAB=45°，

∴∠AFD=90°+∠FAD，

∴∠ADF=180°-（90°+∠FAD）-∠FAD=90°-2∠FAD，

∠FAD=45°-∠CAD，

∴∠ADE=90°-2（45°-∠CAD），

∴∠ADE=2∠CAD；

（3）作BE垂直于y轴于点E，AB与y轴交于点H，

∵∠ACO+∠ECB=90°，∠ACO+∠CAO=90°，

∴∠CAO=∠BCE，

在△ACO和△CBE中

∴△ACO≌△CBE（AAS）

∵A(-4，0)，D(m，0)，B的纵坐标为n，

∴CE=AO=4，OE=-n，CO=4+n，

∵AD平分∠CAB，

则AH=AC，CO=OH，

则△COD∽△AOH，

则（4+n）2=4m