Question

【题目】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE=CF．求证：
（1）AD是△ABC的角平分线；
（2）AE=AF．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵D是BC的中点，

∴BD=CD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴△BED和△CFD都是直角三角形，

在Rt△BED与Rt△CFD中，

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴DE=DF，

∴AD是△ABC的角平分线

（2）证明：∵Rt△BED≌Rt△CFD，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，

∵BE=CF，

∴AE=AF

【解析】（1）根据HL可证Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形的性质可得DE=DF，再根据角平分线的判定即可求解；（2）根据全等三角形的性质可得∠B=∠C，根据等角对等边可得AB=AC，再根据线段的和差求解即可．