Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AM是⊙O的直径，过点A作AP⊥AM．

（1）求证：∠PAC=∠ABC．

（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为BC的中点，且∠DCF=∠P，求证：=．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

试题分析：（1）连接BM，由圆周角定理和垂直的性质即可证明∠PAC=∠ABC；

（2）连接AE，根据垂径定理得出AM⊥BC，进而得出AP∥BC，得出△ADE∽△CDF，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得出．

证明：

（1）连接BM，

∵AM是直径，

∴∠ABM=90°

又∵AP⊥AM，

∴∠ABC+∠CBM=∠PAC+∠CAM=90°，

又∵∠CBM=∠CAM，

∴∠PAC=∠ABC；

（2）连接AE，

∵AM是直径，M为BC的中点

∴BC⊥AM，

又∵AP⊥AM，

∴AP∥BC，

∴∠DCF=∠P=∠PBC=∠EAC，

又∵∠CDF=∠ADE，

∴△ADE∽△CDF，

∴．