Question

【题目】如图，在中，，点是边的中点，过点作于点，的外接圆与边交于点，，

（1）①补全图形；②判断直线与的外接圆的公共点个数，并给出证明．

（2）若，，求线段的长度．

Answer 1

【答案】(1)①见解析;②1个,证明见解析;(2)3

【解析】

(1)①△ADC是直角三角形,则斜边AC的中点即为外接圆的圆心;

②利用等腰三角形ABC和等腰三角形ODC角度的关系,推导出∠ODE=90°,证OD与圆相切;

(2)如下图,连接CF,则DE是△BCF的中位线,在Rt△AFC中,利用三角函数关系表示出AF、FC、AC之间的长度关系，结合BE的长度可求得

(1)①图像如下,取AC的中点O,以OA为半径作圆,圆AB交于点F

②如下图，连接OD

∵△ADC是直角三角形，点O是AC的中点

∴OA=OD=OC

∴∠ODC=∠OCD

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB=∠ODC

∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠EBD+∠EDB=90°

∴∠EDB+∠ODC=90°，∴∠EDO=90°

∴ED与圆O相切，所以有1个交点

(3)如下图，连接CF

∵AC是圆O的直径，∴∠AFC=90°

又∵∠DEB=90°，∴DE∥CF

∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC

∴DE是△BCF的中位线

∵BE=1，∴EF=1

∵cos∠BAC=

∴在Rt△ACF中，设AF=3x，则AC=5x，

∴AB=5x，∴BF=2x=2，∴x=1

∴AF=3