Question

【题目】如图，已知△ABC中,AB=AC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法），并根据要求填空：

（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；

（2）作线段AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交AC于点F；

（3）如果点F与点D重合，则∠A= °．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）36°

【解析】

（1）以B为圆心，以任意长度为半径作弧，分别交AB、BC与M、N，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，连接B和两弧的交点并延长交AC于D，BD即为所求；

（2）分别以A、B为圆心，以大于AB为半径作弧，连接两弧的两个交点交AB于E，交AC于F，EF即为所求；

（3）根据等边对等角可得：∠ABC=∠ACB，再根据角平分线的定义可得：∠ABC=2∠ABF，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角可得：∠FBA=∠A，从而得出∠ACB=∠ABC=2∠A，最后根据三角形的内角和定理列方程即可求出∠A.

解：（1）以B为圆心，以任意长度为半径作弧，分别交AB、BC与M、N，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，连接B和两弧的交点并延长交AC于D，如下图所示，BD即为所求；

（2）分别以A、B为圆心，以大于AB为半径作弧，连接两弧的两个交点交AB于E，交AC于F，如下图所示EF即为所求；

（3）当F、D重合时，如下图所示，

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

∵BF平分∠ABC

∴∠ABC=2∠ABF

∵EF垂直平分AB

∴FB=FA

∴∠FBA=∠A

∴∠ACB=∠ABC=2∠A

∵∠ACB+∠ABC+∠A=180°

∴2∠A+2∠A+∠A=180°

解得：∠A=36°