Question

【题目】如图，已知矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动.连接BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连接EF，交BD于点G，交BC于点M，连接CF. 给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③ ；④GH的值为定值；上述结论中正确的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】试题分析：作CN⊥BD，连接AC．

∵四边形ABCD是矩形，AD∥BC，AB＝DC，

∴∠CDA＝∠DCB＝∠DAB＝∠ABC＝90°，

设E点和F点的运动时间为t，则CE＝t，BF＝3t，

∴， ，

∴，

在△CDE和△CBF中，

，

∴△CDE∽△CBF，故①正确，

∴∠DCE＝∠BCF，

∵∠DCE＋∠BCE＝90°，

∴∠BCE＋∠BCF＝90°，

∴∠ECF＝90°，

∵，

∴，

∵∠DCB＝∠ECF，

∴△DCB∽△ECF，

∴∠DBC＝∠EFC，故②正确；

∴∠CDB＝∠CEF，

∵∠CDB＋∠DCN＝90°，∠DCN＋∠NCB＝90°，

∴∠DCB＝∠NCB＝∠CEF，

∵CN⊥BD，EH⊥DB，

∴CN∥EH，

∴∠NCE＝∠CEH，

∴∠ECB＝∠HEG，

∵AD∥BC，

∴∠DEC＝∠ECB，

∴∠DEC＝∠HEG，

∵∠EDC＝∠EHG＝90°，

∴△EDC∽△EHG，

∴，

∵AB＝DC，

∴，故③错误；

∵AD＝BC＝6，AB＝2，

∴BD＝＝，

∵∠EDH＝∠ADB，∠EHD＝∠DAB，

∴△DEH∽△DBA，

∴，

∴，

∴EH＝，

∵，

∴，

∴HG＝，故④正确．

综上所述①②④正确．

故选C．