Question

【题目】定义：如图1，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连结EF，若AE＝CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．

（1）如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB＝AC＝5，AE ＝2，求逆等线EF的长；

（2）如图2，若等腰直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线；

（3）如图3，等腰△AOB的顶点O与原点重合，底边OB在x轴上，反比例函数y＝ （x＞0）的图象交△OAB于点C，D，若CD恰为△AOB的逆等线，过点C，D分别作CE⊥x轴，DF⊥x轴，已知OE＝2，求OF的长．

Answer 1

【答案】（1）逆等线EF的长为；

（2）EF为等腰△ABC的逆等线；

（3）OF＝2＋2

【解析】试题分析：(1)、根据逆等线的定义得出CF=AE=2，AF=3，根据勾股定理得出EF的长度；(2)、连接AD，根据题意证明出△EDA和△FDC全等，从而得出AE=CF，得到逆等线；(3)、设OF=x，作AG⊥OB，CH⊥AG，根据逆等线的性质得出△ACH和△DBF全等，从而得出EG=x-4，根据△ACH和△COE相似得出x的值，从而得出x的值，即OF的长度.

试题解析：（1）∵EF是等腰△ABC的逆等线

∴CF ＝AE＝2，又AB＝AC＝5 ∴AF＝3 ∵EF⊥AB ∴EF＝＝

（2）连结AD，在等腰Rt△ABC中，点D为底边上中点 ∴AD＝CD且∠ADC＝90°

又∵DE＝DF且∠EDF＝90° ∴∠EDA＝90°－∠ADF＝∠FDC

∴△EDA≌△FDC ∴AE＝CF ∴EF为等腰△ABC的逆等线

（3）如图3，设OF＝x，则DF＝ 作AG⊥OB，CH⊥AG

∵CD为△AOB的逆等线 ∴AC＝BD，又∠ACH＝∠AOB＝∠DBF

且∠AHC＝∠AGO＝∠DFB ∴△ACH≌△DBF 则EG＝CH＝BF，AH＝DF

又AO＝AB，且AG⊥OB ∴OG＝BG ∴GF＝BG－BF＝OG－EG＝OE

所以EG＝x－2－2＝x－4 ∵△ACH∽△COE ∴＝ 即＝

化简得x2－4x－4＝0 所以x＝2＋2 即OF＝2＋2