Question

【题目】在中，垂直平分，分别交、于点、，垂直平分，分别交，于点、．

⑴如图①，若，求的度数；

⑵如图②，若，求的度数；

⑶若，直接写出用表示大小的代数式．

Answer 1

【答案】（1）∠EAN=44°；（2）∠EAN=16°；（3）当0<α＜90°时，∠EAN=180°-2α；当α＞90°时，∠EAN=2α-180°．

【解析】

(1)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，再根据∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)代入数据进行计算即可得解；

(2)同(1)的思路，最后根据∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC代入数据进行计算即可得解；

(3)根据前两问的求解，分α＜90°与α＞90°两种情况解答．

(1)∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴∠BAE=∠B，

同理可得：∠CAN=∠C，

∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，

在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-112°=68°，

∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=112°-68°=44°；

(2)∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴∠BAE=∠B，

同理可得：∠CAN=∠C，

∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，

在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-82°=98°，

∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=98°-82°=16°；

(3)当0<α＜90°时，

∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴∠BAE=∠B，

同理可得：∠CAN=∠C，

∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，

在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α，

∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=180°-α-α=180°-2α；

当α＞90°时，

∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴∠BAE=∠B，

同理可得：∠CAN=∠C，

∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，

在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α，

∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=α-(180°-α)=2α-180°．