Question

【题目】（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，求证：BD＝CE．

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．

①求∠AEB的度数；

②证明：AE＝BE＋2CM．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①90°；②证明见解析．

【解析】试题分析：（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD≌△CAE，即可判断出BD=CE．

（2）①首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°即可；

②根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM即可．

试题解析：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝40°，

∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中， ，

∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE；

（2）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，

∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中， ，

∴△ACD≌△BCE，∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC＝180°－45°＝135°，∴∠BEC＝135°，

∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°；

②∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，

∴CM＝DM＝EM，∴DE＝DM＋EM＝2CM，

∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM．