Question

【题目】如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心，顺次连接A、O1、B、O2 ．
（1）求证：四边形AO1BO2是菱形；
（2）过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE=2O2D；
（3）在（2）的条件下，若△AO2D的面积为1，求△BO2D的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵⊙O1与⊙O2是等圆，

∴AO1=O1B=BO2=O2A，

∴四边形AO1BO2是菱形；

（2）证明：∵四边形AO1BO2是菱形，

∴∠O1AB=∠O2AB，

∵CE是⊙O1的切线，AC是⊙O1的直径，

∴∠ACE=∠AO2C=90°，

∴△ACE∽△AO2D，

，

即CE=2DO2；

（3）解：∵四边形AO1BO2是菱形，

∴AC∥BO2

∴△ACD∽△BO2D，

∴ ，

∴AD=2BD，

∵ ，

∴ ，

【解析】（1）根据⊙O1与⊙O2是等圆，可得AO1=O1B=BO2=O2A，利用四条边都相等的四边形是菱形可判定出结论；（2）根据已知得出△ACE∽△AO2D，进而得出 ，即可得出答案；（3）首先证明△ACD∽△BO2D，得出 ，AD=2BD，再利用等高不等底的三角形面积关系得出答案即可．
【考点精析】掌握菱形的判定方法和相交两圆的性质是解答本题的根本，需要知道任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．