Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为边AB上一点，CD绕点D顺时针旋转90°至DE，CE交AB于点G．已知AD=8，BG=6，点F是AE的中点，连接DF，求线段DF的长 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图，将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△CBP，作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，在NA上截取一点H，使得NH=NE，连接HE，PG．
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵DC=DE，∠CDE=90°，
∴∠DCE=45°，
∴∠ACD+∠BCG=45°，
∵∠ACD=∠BCP，
∴∠GCP=∠GCD=45°，
在△GCD和△GCP中，
，
∴△GCD≌△GCP，
∴DG=PG，
∵∠PBG=∠PBC+∠CBG=90°，BG=6，PB=AD=8，
∴PG=DG= =10，
∴AB=AD+DG+BG=24，CM=AM=MB=12，DM=AM﹣AD=4，
∵∠DCM+∠CDM=90°，∠CDM+∠EDN=90°，
∴∠DCM=∠EDN，
在△CDM和△DEN中， ，
∴△CDM≌△DEN，
∴DM=NE=HN=4，CM=DN=AM，
∴AD=NM，DH=AD，
∵AF=FE，
∴DF= HE= =2 ．
故答案为： ．
如图，将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△CBP，作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，在NA上截取一点H，使得NH=NE，连接HE，PG，由△GCD≌△GCP，推出DG=PG，再证明△CDM≌△DEN，只要证明DF是△AHE中位线，求出HE即可解决问题．