Question

【题目】如图1，已知为正方形的中心，分别延长到点， 到点，使， ，连结，将△绕点逆时针旋转角得到△（如图2）．连结、．

（Ⅰ）探究与的数量关系，并给予证明；

（Ⅱ）当， 时，求：

①的度数；

②的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）①30°②

【解析】(1)首先证明△AOE′≌△BOF′，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；

（2）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′．易证△OME′是等边三角形，据此∠AE′O的度数即可求得；②在直角△AOB中，利用三角函数即可求得OB的长，然后在直角△OBF′中利用三角函数求得BF′的长.

本题解析：如图:

（1）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，

又∵OF=2OA，OE=2OD，

∴OE=OF，则OE′=OF′，

在△AOE′和△BOF′中，

∴△AOE′≌△BOF′

∴AE′=BF′；

（2）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′．

∵正方形ABCD中，∠AOD=90°，

∴∠AOE′=90°﹣30°=60°，

∴△OME′是等边三角形，

又∵AM=OA，

∴AE′⊥OM，

则∠E′AO=90°，

∴∠AOE′=90°﹣α=60°，

∴在直角△AOE′中，∠AE′O=90°﹣∠AOE′=30°；

②∵∠AOE′=90°﹣α=60°，∠E′OF′=90°，

∴∠AOF′=30°，

又∵∠AOB=90°，

∴∠BOF′=60°，

又∵等腰直角△AOB中，OB=AB=，

∴在Rt△ABE'中得到AE'=OA=，

又BF'=AE'

∴BF′=．