Question

【题目】【试题背景】已知:l ∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1、d2、d3 ， 且d1 =d3 = 1，d2 = 2 ．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．
（1）【探究1】如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BEL于点E,BE的反向延长线交直线k于点F． 求正方形ABCD的边长．

（2）【探究2】矩形ABCD为“格线四边形”，其长 ：宽 = 2 ：1 ，求矩形ABCD的宽
（3）【探究3】如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形， 于点E， ∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、k于点G、M． 求证：EC=DF．

（4）【拓 展】如图3，l ∥k，等边三角形ABC的顶点A、B分别落在直线l、k上， 于点B，且AB=4 ，∠ACD=90°，直线CD分别交直线l、k于点G、M，点D、E分别是线段GM、BM上的动点，且始终保持AD=AE， 于点H．

猜想：DH在什么范围内，BC∥DE？直接写出结论。

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，

∵BE⊥l , l ∥k ,

∴∠AEB=∠BFC=90°, 又四边形ABCD是正方形，

∴∠1+∠2=90°，AB=BC,

∵∠2+∠3=90°,

∴ ∠1=∠3,∴⊿ABE≌⊿BCF（AAS）,

∴AE=BF=1 ,

∵BE=d1+d2=3 ,

∴AB= = ,

∴正方形的边长是

（2）解：（注意：要分2种情况讨论）如图2,3

∵ ⊿ABE∽⊿BCF,

∴ 或 ，

∵BF=d3=1 ,

∴AE= 或AE=2,

∴AB= = 或 AB= = ，

∴矩形ABCD的宽为 或

（3）解：如图4，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=DC,又∠ADC=60°,

∴⊿ADC是等边三角形，

∴AD=AC，

∵AE⊥k , ∠AFD=90°,

∴∠AEC=∠AFD=90°，

∵⊿AEF是等边三角形，

∴ AF=AE，

∴⊿AFD≌⊿AEC（HL），

∴EC=DF

（4）解：如图5，当2＜DH＜4时， BC∥DE ．

【解析】（1）根据垂线的定义及平行线的性质得出∠AEB=∠BFC=90°，根据正方形的性质得出∠1+∠2=90°，AB=BC, 然后利用同角的余角相等得出 ∠1=∠3，利用AAS证明△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质得出AE和BE的长，然后利用勾股定理即可求解；
（2） 过B作BE⊥l于点E，交k于点F，易证△AEB∽△BCF，然后根据相似三角形对应边成比例，得出==或==又BF=d3=1 , 故AE= 或AE=2,然后分AB是长和AB是宽两种情况进行讨论求得；
（3）连接AC，根据菱形的性质知AD=DC,又∠ADC=60°,进而判断出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AD=AC，AF=AE，根据垂直的定义得出∠AEC=∠AFD=90°，再证明△AFD≌△AEC（HL），根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（4）连接AM，首先证明△ABE≌△ACD，然后证明Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），根据全等三角形的对应角相等，以及等腰直角三角形 的性质证明∠MBC=∠MED，则ED∥BC即可证得．

【考点精析】通过灵活运用菱形的性质和矩形的性质，掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等即可以解答此题．