Question

【题目】如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD于点E，CG⊥AD于点G，连接FE，FC．
（1）求证：GC是⊙F的切线；
（2）填空： ①若∠BAD=45°，AB=2 ，则△CDG的面积为 ．
②当∠GCD的度数为时，四边形EFCD是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB=AD，FB=FC，

∴∠B=∠D，∠B=∠BCF，

∴∠D=∠BCF，

∴CF∥AD，

∵CG⊥AD，

∴CG⊥CF，

∴GC是⊙F的切线；

（2）；30°
【解析】解：①∵连接AC，BE，
∵AB是⊙F的直径，
∴AC⊥BD，∠AEB=90°，
∵AB=AD，
∴BC=CD，
∵∠BAD=45°，AB=2 ，
∴BE=AE=2，
∴DE=2 ﹣2，
∵CG⊥AD，
∴CG∥BE，
∴DG=EG= DE= ﹣1，CG= BE=1，
∴△CDG的面积= DGCG= ﹣ ；
故答案为： ；②当∠GCD的度数为30°时，四边形EFCD是菱形．理由如下：
∵CG⊥CF，∠GCD=30°，
∴∠FCB=60°，
∵FB=FC，
∴△BCF是等边三角形，
∴∠B=60°，CF=BF= AB，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，CF= AD，
∴∠A=60°，
∵AF=EF，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=AF= AB= AD，
∴CF=DE，
又∵CF∥AD，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∵CF=EF，
∴四边形EFCD是菱形；
故答案为：30°．

（1）由等腰三角形的性质得出∠D=∠BCF，证出CF∥AD，由已知条件得出CG⊥CF，即可得出结论；（2）解：①连接AC，BE，根据圆周角定理得到AC⊥BD，∠AEB=90°，根据等腰三角形的性质得到BC=CD，解直角三角形得到DE=2 ﹣2，根据三角形的中位线的性质得到DG=EG= DE= ﹣1，CG= BE=1，于是得到结论；②证出△BCF是等边三角形，得出∠B=60°，CF=BF= AB，证出△ABD是等边三角形，CF= AD，证出△AEF是等边三角形，得出AE=AF= AB= AD，因此CF=DE，证出四边形EFCD是平行四边形，即可得出结论．