Question

【题目】在矩形ABCD中,AD=3，CD=4,点E在边CD上,且DE=1.

（1）感知：如图①，连接AE，过点E作，交BC于点F，连接AF，易证： (不需要证明)；

（2）探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上(点P不与点A、D重合)，连接PE，过点E ,交BC于点F，连接PF.求证： 相似;

（3）应用：如图③，若EF交AB边于点F， ，其他条件不变，且的面积是6，则AP的长为____.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】试题分析：

（1）由已知易证∠AED=∠EFC，∠D=∠C=90°，由AD=3，CD=4结合DE=1可得AD=CE，由此即可证得△AED≌△ECF；

（2）由四边形ABCD是矩形可得∠D=∠C=90°，结合∠PEF=90°可证得∠PED=∠EFC，由此即可证得△PDE∽△ECF；

（3）过点F作FH⊥CD于点H，易得四边形AFHD是矩形，由此可得FH=AD=3，由（2）可得△PDE∽△EHF，由此结合已知条件可证得EF=3PE，结合S△PEF=PE·EF=6，即可解得PE=2，由此在Rt△PDE中解得PD=，从而可得AP=AD-PD=.

试题解析：

（1）∵四边形ABCD是矩形，EF⊥AE，

∴∠C=∠D=∠AEF=90°，

∴∠DAE+∠AED=90°，∠AED+∠CEF=90°，

∴∠DAE=∠CEF，

∵CD=4，DE=1，AD=3，

∴EC=CD-DE=3=AD，

∴△ADE≌△ECF；

（2）同（1）可得：∠D=∠C，∠DPE=∠CEF，

∴△PDE∽△ECF；

（3）如图3，在矩形ABCD中，过点F作FH⊥CD于点H，

∴∠PHD=∠A=∠D=90°，

∴四边形AFHD是矩形，

∴FH=AD=3，

由（2）可得△PDE∽△EHF，

∴，

∵DE=1，

∴，即EF=3PE，

∵S△PEF=PE·EF=6，

∴3PE2=12，解得PE=2，

∴在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PD=，

∴AP=AD-PD=.