Question

【题目】（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD. 若AC=2，BC=1，则△BCD的周长为___________________.

（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF的周长等于AD的长.

①在图2中求作△EDF.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

②在图3中补全图形，求∠EOF的度数.

③若，则=_______________.

图1 图2 图3

Answer 1

【答案】（1）3；（2）①作图见解析；②45°；③.

【解析】试题分析：（1）由线段垂直平分线的性质得出BD=AD，得出△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC，即可得出结果；

（2）①在AD上截取AH=DE，再作EG的垂直平分线，交AD于F，△EDF即为所求；

②连接OA、OD、OH，由正方形的性质得出∠1=∠2=45°，由SAS证明△ODE≌△OAH，得出∠DOE=∠AOH，OE=OH，得出∠EOH=90°，证出EF=HF，由SSS证明△EOF≌△HOF，得出∠EOF=∠HOF=45°即可；

③作OG⊥CD于G，OK⊥AD于K，设AF=8t，则CE=9t，设OG=m，由正方形的性质得出GE=CE-CG=9t-m，DE=2CG-CE=2m-9t，FK=AF-KA=8t-m，DF=2DK-AF=2m-8t，由HL证明Rt△EOG≌Rt△HOK，得出GE=KH，因此EF=GE+FK=17t-2m，由勾股定理得出方程，解方程求出m=6t，得出OG=OK=6t，GE=9t-m=9t-6t=3t，FK=8t-m=2t，由勾股定理即可得出结果．

试题解析：（1）∵AB的垂直平分线交AC于点D，

∴BD=AD，

∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC=1+2=3，

故答案为：3；

（2）①如图1所示：△EDF即为所求；

②如图2所示：

AH=DE，连接OA、OD、OH，

∵点O为正方形ABCD的中心，

∴OA=OD，∠AOD=90°，∠1=∠2=45°，

在△ODE和△OAH中，

，

∴△ODE≌△OAH（SAS），

∴∠DOE=∠AOH，OE=OH，

∴∠EOH=90°，

∵△EDF的周长等于AD的长，

∴EF=HF，

在△EOF和△HOF中，

，

∴△EOF≌△HOF（SSS），

∴∠EOF=∠HOF=45°；

③作OG⊥CD于G，OK⊥AD于K，如图3所示：

设AF=8t，则CE=9t，设OG=m，

∵O为正方形ABCD的中心，

∴四边形OGDK为正方形，CG=DG=DK=KA=AB=OG，

∴GE=CE﹣CG=9t﹣m，DE=2CG﹣CE=2m﹣9t，FK=AF﹣KA=8t﹣m，DF=2DK﹣AF=2m﹣8t，

由（2）②知△EOF≌△HOF，

∴OE=OH，EF=FH，

在Rt△EOG和Rt△HOK中，

，

∴Rt△EOG≌Rt△HOK（HL），

∴GE=KH，

∴EF=GE+FK=9t﹣m+8t﹣m=17t﹣2m，

由勾股定理得：DE2+DF2=EF2，

∴（2m﹣9t）2+（2m﹣8t）2=（17t﹣2m）2，

整理得：（m+6t）（m﹣6t）=0，

∴m=6t，

∴OG=OK=6t，GE=9t﹣m=9t﹣6t=3t，FK=8t﹣m=2t，

∴===．

故答案为．