Question

【题目】如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.

（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为_____；

（2）如图2，当PB=5时，若直线l//AC，则BB’的长度为 ；

（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；

（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）5；（3）面积不变，S△ACB’=；（4）24+4

【解析】

(1)证明△APB′是等边三角形即可解决问题；

(2)如图2中，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题；

(3)如图3中，结论：面积不变，证明B B′//AC即可；

(4)如图4中，当PB′⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于点E，求出B′E即可解决问题.

(1)如图1，∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=60°，AB=BC=CA=8，

∵PB=4，

∴PB′=PB=PA=4，

∵∠A=60°，

∴△APB′是等边三角形，

∴AB′=AP=4，

故答案为：4；

(2)如图2，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，

∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，

∴△PEB是等边三角形，

∵PB=5，B、B′关于PE对称，

∴BB′⊥PE，BB′=2OB，

∴OB=PB·sin60°=，

∴BB′=5，

故答案为：5；

(3)如图3，结论：面积不变.

过点B作BE⊥AC于E，

则有BE=AB·sin60°=，

∴S△ABC==16，

∵B、B′关于直线l对称，

∴BB′⊥直线l，

∵直线l⊥AC，

∴AC//BB′，

∴S△ACB’=S△ABC=16；

(4)如图4，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，

设直线PB′交AC于E，

在Rt△APE中，PA=2，∠PAE=60°，

∴PE=PA·sin60°=，

∴B′E=B′P+PE=6+，

∴S△ACB最大值=×(6+)×8=24+4.