Question

【题目】如图，△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连接AE．

求证：（1）DE=DA；（2）CE2=ADAC．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据直角三角形30度角性质得到DE=CD，根据已知条件AD=DC，由此不难证明．

（2）先证明∠ECA=∠EAC=∠AED=30°，再证明△DEA∽△ECA即可．

试题解析：（1）∵CE⊥BD，∠BDC=60°

∴∠ECD=30°，

∴DE=CD，又∵CD=2DA，即DA=CD，

∴ED=DA．

（2）∵∠EDC=60°=∠DEA+∠DAE，

∵DE=DA，

∴∠DEA=∠DAE=30°，

∵∠ECD=30°，

∴∠ECA=∠EAC=∠AED=30°，

∴EC=EA，

∵∠EAD=∠CAE，∠AED=∠ACE

∴△DEA∽△ECA，

∴，

∴AE2=ADAC，∴EA=EC，

∴EC2=ADAC．