Question

【题目】在△ABC中，∠A=120°,AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F，

(1) 如图(1)，连接AM、AN，求∠MAN的度数。

(2) 如图(2)，如果AB=AC, 求证：BM=MN=NC.

Answer 1

【答案】（1）60 （2）见解析

【解析】试题分析：（1）由AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，根据线段垂直平分线的性质，可得AM=BM，AN=CN，继而求得∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，则可求得∠MAN的大小；
（2）由∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，易证得△AMN是等边三角形，则可证得BM=MN=NC．

试题解析：

（1）∠MAN=60°．
理由：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵ME是AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线，
∴AM=BM，AN=CN，
∴∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，
∴∠MAN=∠BAC-∠BAM-∠CAN=60°；
（2）证明：∵∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，
∴∠AMN=∠ANM=60°，
∵∠MAN=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，
∵AM=BM，AN=CN，
∴BM=MN=NC．