Question

【题目】已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点M是AC的中点，延长BM至点D，使DM=BM，连接AD．

（1）如图①，求证：△DAM≌△BCM；

（2）已知点N是BC的中点，连接AN．

①如图②，求证：△BCM≌△ACN；

②如图③，延长NA至点E，使AE=NA，连接DE．求证：BD⊥DE．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.

【解析】

(1)利用SAS进行证明即可；

(2)由点M是AC的中点，点N是BC的中点，AC=BC，可得CM=CN，继而利用SAS进行证明即可；

②取AD中点F，连接EF，则AD=2AF，由△BCM≌△ACN，△DAM≌△BCM，可推导得出AF=CN，∠EAF=∠ANC，根据SAS可证明△EAF≌△ANC，从而可得∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°，进而可得∠AFE=∠DFE=90°，继而可以证明△AFE≌△DFE，则有∠EAD=∠EDA=∠ANC，继而可得∠EDB=90°，问题得证.

(1)∵点M是AC的中点，∴AM=CM，

在△DAM和△BCM中，

∵，∴△DAM≌△BCM(SAS)；

(2)①∵点M是AC的中点，点N是BC的中点，∴CM=AC，CN=BC，

∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∴CM=CN，

在△BCM和△ACN中，∵，∴△BCM≌△ACN(SAS)；

②取AD中点F，连接EF，

则AD=2AF，

∵△BCM≌△ACN，∴AN=BM，∠CBM=∠CAN，

∵△DAM≌△BCM，∴∠CBM=∠ADM，AD=BC=2CN，

∴AF=CN，∴∠DAC=∠C=90°，∠ADM=∠CBM=∠NAC，

∴AD∥BC，∴∠EAF=∠ANC．

在△EAF和△ANC中，∵，∴△EAF≌△ANC(SAS)，

∴∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°，∴∠AFE=∠DFE=90°，

∵F为AD的中点，∴AF=DF，

在△AFE和△DFE中，，

∴△AFE≌△DFE(SAS)，

∴∠EAD=∠EDA=∠ANC，

∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°–∠DAM=180°–90°=90°，

∴BD⊥DE．