Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD= ．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB与圆O相切，

∴OD⊥AB，

在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD= ，

∴OD=3；

（2）解：连接OE，

∵AE=OD=3，AE∥OD，

∴四边形AEOD为平行四边形，

∴AD∥EO，

∵DA⊥AE，

∴OE⊥AC，

又∵OE为圆的半径，

∴AE为圆O的切线

（3）解：∵OD∥AC，

∴ ，即 ，

∴AC=7.5，

∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，

∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG

= ×2×3+ ×3×4.5﹣

=3+ ﹣

= ．

【解析】（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；（2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积，求出即可．
【考点精析】本题主要考查了扇形面积计算公式的相关知识点，需要掌握在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）才能正确解答此题．