Question

【题目】如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．

（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若ED=3，EF=5，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连CB、OC，如图，

∵BD为⊙O的切线，

∴DB⊥AB，

∴∠ABD=90°，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCD=90°，

∵E为BD的中点，

∴CE=BE，

∴∠BCE=∠CBE，

而∠OCB=∠OBC，

∴∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，

∴OC⊥CF，

∴CF是⊙O的切线

（2）解：CE=BE=DE=3，

∵EF=5，

∴CF=CE+EF=8，

∵∠ABD=90°，

∴∠EBF=90°，

∵∠OCF=90°，

∴∠EBF=∠OCF，

∵∠F=∠F，

∴△EBF∽△OCF，

∴ ，

∴ ，

∴OC=6，

即⊙O的半径为6．

【解析】已知圆的直径，常添加辅助线是连接弦，构造圆周角是直角；要证某一直线是圆的切线，添加辅助线的方法是“连半径，证垂直”或“作垂线，证半径”。（1）连CB、OC根据直径所对的圆周角是直角，得出∠ABD=∠BCD=90°，在Rt△BCD中，因为点E是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出EC=BE，得到E∠BCE=∠CBE，于是就可以证得∠OCE=90°，根据切线的判定定理就可以得到CF是⊙O的切线；（2）由（1）的证明过程可知CE=BE=DE=3，而EF=5，可以得到CF=8，易证△EBF∽△OCF，从而求得圆的半径长，。
【考点精析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．