Question

【题目】如图，在△CBD中，CD=BD，CD⊥BD，BE平分∠CBA交CD于点F，CE⊥BE垂足是E，CE与BD交于点A．求证：

（1）BF=AC；

（2）BE是AC的中垂线；

（3）若AD=2，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4+2．

【解析】

(1)由 CD⊥AB，BE⊥AC,可得BDF=∠ADC=∠AEB=90°，DBF=∠DCA，继而证明出△BDF≌△CDA可得结论;

(2) BE平分∠ABC，可证∠A=∠BCA，BC=BA ，CE=EA可得结论;

(3) 由（1）BDF≌△CDA，可得各边的长，可求出AB的长.

（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BDF=∠ADC=∠AEB=90°，

∵∠DBF+∠A=90°，∠DCA+∠A=90°，

∴∠DBF=∠DCA，

∵BD=CD，

∴△BDF≌△CDA（SAS），

∴BF=AC．

（2）证明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∵∠BEA=∠BEC=90°，

∴∠A+∠ABE=90°，∠BCA+∠CBE=90°，

∴∠A=∠BCA，

∴BC=BA，

∵BE⊥AC，

∴CE=EA，

∴BE是AC的中垂线．

（3）解：连接AF．

∵△BDF≌△CDA，

∴AD=DF=2，AF=2，

∵BE垂直平分AC，

∴CF=AF=2，

∴BD=CD=2+2，

∴AB=BD+AD=4+2．