Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为（1，0），连接CD，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．

（1）连接OP，当点P在线段BC上运动，且满足△CPO≌△ODC时，求直线OP的表达式；

（2）连接PC，求△CPD的面积S关于t的函数表达式；

（3）点P在运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=3x；（2）S=；（3）满足条件的点P坐标为（2，3）或（3，）或（3，2）或（3，）．

【解析】

(1) 四边形ABCO是正方形, 可得COD=∠OCP, OC=CO继而证明△CPO≌△ODC, 可得P点坐标，即可确定OP解析式;

(2) 分当点P在线段BC上时，当点P在线段AB上时两种情况讨论即可;

(3) 存在, 分别以DC=DP1, DC=DP2, CD=CP3, P4C=P4D四种情况考虑, 利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可.

（1）∵四边形ABCO是正方形，

∴∠COD=∠OCP，∵OC=CO，

∴当CP=OD=1时，△CPO≌△ODC，

∴P（1，3），

设直线OP的解析式为y=kx，则有3=k，

∴直线OP的解析式为y=3x．

（2）当点P在线段BC上时，如图1中，

S=CPCO=t（0＜t≤3），

当点P在线段AB上时，如图2中，

BP=t﹣3，AP=3﹣（t﹣3）=6﹣t，

S=3×3﹣×1×3﹣×3×（t﹣3）﹣×2×（6﹣t）=﹣t=6（3＜t≤6），

综上所述，S=．

（3）如图3中，

①当DC=DP1时，P1（2，3），

②当DC=DP2时，AP2==，

∴P2（3，）．

③当CD=CP3=时，BP3==1，

∴P3（3，2）．

④当P4C=P4D时，设AP4=a，

则有22+a2=32+（3﹣a）2，

解得a=，

∴P4（3，），

综上所述，满足条件的点P坐标为（2，3）或（3，）或（3，2）或（3，）．