Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）若∠BAC=70°，求弧BD、弧DF和弧AF的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：AB=AC．

理由是：连接AD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

又∵DC=BD，

∴AB=AC

（2）解：连接OD、OF．

∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，

∴∠ABC=∠C= = =55°，

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠OBD=55°，

∴∠BOD=180°﹣∠B﹣∠ODB=180°﹣55°﹣55°=70°，

∴ 的度数是70°；

同理，∠AOF=40°，

则∠DOF=180°﹣∠AOF﹣∠BOD=180°﹣40°﹣70°=70°．

则 的度数是70°， 的度数是40°．

【解析】（1）连接AD，根据圆周角定理可以证得AD垂直且平分BC，然后根据垂直平分线的性质证得AB=AC；（2）连接OD、OF，利用等腰三角形的性质：等边对等角求得圆心角∠BOD、∠DOF、∠AOF的度数，根据弧的度数等于所对圆心角的度数即可求解．
【考点精析】通过灵活运用圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可以解答此题．