Question

【题目】如图1，等边△ABC边长为6，AD是△ABC的中线，P为线段AD（不包括端点A、D）上一动点，以CP为一边且在CP左下方作如图所示的等边△CPE，连结BE．

（1）点P在运动过程中，线段BE与AP始终相等吗？说说你的理由；
（2）若延长BE至F，使得CF=CE=5，如图2，问：求出此时AP的长；
（3）当点P在线段AD的延长线上时，F为线段BE上一点，使得CF=CE=5．求EF的长

Answer 1

【答案】
（1）

解：BE=AP；理由如下：

∵△ABC和△CPE均为等边三角形，

∴∠ACB=∠PCE=60°，AC=BC，CP=CE．

∵∠ACP+∠DCP=∠DCE+∠PCD=60°，

∴∠ACP=∠BCE．

∵在△ACP和△BCE中， ，

∴△ACP≌△BCE（SAS）．

∴BE=AP

（2）

解：如图2所示：过点C作CH⊥BE，垂足为H．∵AB=AC，AD是BC的中点，

∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC=30°．

∵由（1）可知：△ACP≌△BCE，

∴∠CBE=∠CAD=30°，AP=BE．

∵在Rt△BCH中，∠HBC=30°，

∴HC= BC=3，BH= BC=3 ．

∵在Rt△CEH中，EC=5，CH=3，

∴EH= = =4．

∴BE=HB﹣EH=3 ﹣4．

∴AP=3 ﹣4

（3）

解：如图3所示：过点C作CH⊥BE，垂足为H．

∵△ABC和△CEP均为等边三角形，

∴AC=BC，CE=PC，∠ACB=∠ECP．

∴∠ACB+∠BCP=∠ECP+BCP，即∠BCE=∠ACP．

∵在△ACP和△BCE中， ，

∴△ACP≌△BCE（SAS）．

∴∠CBH=∠CAP=30°．

∵在Rt△BCH中，∠CBH=30°，

∴HC= BC=3．

∵FC=CE，CH⊥FE，

∴FH=EH．

∴FH=EH= = =4．

∴EF=FH+EH=4+4=8．

【解析】（1）证出∠ACP=∠BCE．由SAS证明△ACP≌△BCE，得出对应边相等即可．（2）过点C作CH⊥BE，垂足为H．由等边三角形的性质得出∠CAD=∠BAD= ∠BAC=30°．由（1）可知：△ACP≌△BCE，得出∠CBE=∠CAD=30°，AP=BE．由含30°角的直角三角形的性质得出HC= BC=3，由勾股定理得出BH= BC=3 ．在Rt△CEH中，由勾股定理求出EH= =4，即可得出AP的长．（3）过点C作CH⊥BE，垂足为H．由SAS证明△ACP≌△BCE，得出∠CBH=∠CAP=30°．由含30°角的直角三角形的性质得出HC= BC=3．与等腰三角形的性质求出FH=EH．由勾股定理求出FH，即可得出EF的长．
【考点精析】认真审题，首先需要了解全等三角形的性质(全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等)．