Question

【题目】如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论①点P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中正确的是（　 　）

A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

因为△ABC为等边三角形，根据已知条件可推出Rt△ARP≌Rt△ASP，则AR=AS，故（2）正确，∠BAP=∠CAP，所以AP是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，AP也是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点，因为AQ=PQ，所以点Q是AC的中点，所以PQ是边AB对的中位线，有PQ∥AB，故（3）正确，又可推出△BRP≌△QSP，故（4）正确．

∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴∠ARP=∠ASP=90°，
∵PR=PS，AP=AP，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP，
∴AR=AS，故（2）正确，∠BAP=∠CAP，
∴AP是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确;
∴AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点,
∵AQ=PQ,
∴点Q是AC的中点,
∴PQ是边AB对的中位线,
∴PQ∥AB，故（3）正确;
∵∠B=∠C=60°，∠BRP=∠CSP=90°，BP=CP,
∴△BRP≌△QSP，故（4）正确,
∴全部正确．
故选：D．