Question

【题目】如图1，矩形ABCD中，P是AB边上的一点（不与A，B重合），PE平分∠APC交射线AD于E，过E作EM⊥PE交直线CP于M，交直线CD于N．

（1）求证：CM=CN；

（2）若AB：BC=4：3，

①当=　 　时，E恰好是AD的中点；

②如图2，当△PEM与△PBC相似时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2）①；②．

【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出∠A=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，由平行线的性质、互余两角关系、对顶角相等以及角平分线证出∠CMN=∠N，即可得出结论；

（2）①由题意得出M、N、C三点重合，由ASA证明△APE≌△DFE，得出AP=DF，PE=FE，由线段垂直平分线的性质证出AP+CD=PC，设AD=3，AB=4，过P作PF⊥CD于F，设AP=DE=x，则PB=CF=4﹣x，PC=4+x，PF=3，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②分两种情况：1．若△PEM∽△CCBP，则∠EPM=∠BCP，得出PE∥BC，不成立；

　2．若△PEM∽△PBC，则∠APB=∠EPM=∠BPC=60°，设AB=4a，BC=AD=3a，则PB= a，AP=（）a，AE=（）a，设PE与CD交于点F，证出△PEM∽△FEN，由相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理得出，即可得出结果．

试题解析：解：（1）延长PE交CD的延长线于F，如图1所示：

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=∠ADC=∠EDF═90°，AB=CD，AD=BC，∴∠APE+∠AEP=90°，∴∠F=∠APE，∵EM⊥EN，∴∠PEN=∠FEN=90°，∴∠CPE+∠PME=90°，∠F+∠N=90°，∵PE平分∠APC，∴∠APE=∠MPE，又∵∠PME=∠CMN，∴∠CMN=∠N，∴CM=CN；

（2）①若E是AD的中点，则M、N、C三点重合，∵E为AD的中点，∴AE=DE，在△APE和△DFE中，∵∠A=∠EDF，AE=DE，∠AEP=∠DEF，∴△APE≌△DFE（ASA），∴AP=DF，PE=FE，∵EM⊥EN，∴PC=FC，∵FC=CD+DF，∴AP+CD=PC，设AD=3a，AB=4a，过P作PF⊥CD于F，如图2所示：

设AP=DE=x，则PB=CF=4﹣x，PC=4+x，PF=3，由勾股定理得：（4﹣x）2+32=（4+x）2，解得：x=a，4﹣x=a，∴=；

②分两种情况：

　1．若△PEM∽△CCBP，则∠EPM=∠BCP，∴PE∥BC，不成立；

　2．若△PEM∽△PBC，则∠APE=∠EPM=∠BPC=60°，设AB=4a，BC=AD=3a，则PB=a，AP=（）a，AE=（）a，设PE与CD交于点F，如图3所示：

∵AB∥CD，∴∠EFN=∠BFC=∠APE=60°，∴∠N=∠M=90°﹣60°=30°，∵EM⊥PE，∴∠NEF=∠PEM=90°，∴△PEM∽△FEN，∴ ，∵AB∥CD，∴，∴==．