Question

【题目】中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是常见的几何图形！

（1）如图1，若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°，连接AD、EF，当BC=5，FC=2时，求EF的长度；

（2）如图2，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；M为EF的中点，连接CM，当DF∥AB时，证明：3ED=2MC；

（3）如图3，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；当BE=6，CF=0.8时，直接写出EF的长度．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，证得△ADE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等，求得AE=CF=2，最后在在Rt△AEF中根据勾股定理求得EF的长；

（2）先设等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，在Rt△MND中求得MN的长，最后根据CM与DE的长度之比求得3ED=2MC；

（3）先延长FD至G，使得FD=FG，连接EG，BG，过E作EH⊥BG于点H，根据△BDG≌△CDF得到BG=CF=0.8，进而在Rt△BEH中求得HE，在Rt△EHG中求得EG，最后根据ED垂直平分FG，即可得出EF的长度．

试题解析：（1）如图1∵点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点

∴AD⊥BC，AD=BC=CD=，∠DAE=∠C=45°，∴AC=CD=5，又∵∠EDF=90°，FC=2

∴∠ADE=∠CDF，AF=5﹣2=3

在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF=2，∴在Rt△AEF中，EF==

（2）设等边三角形边长为2，则BD=CD=1，

∵等边三角形ABC中，DF∥AB

∴∠FDC=∠B=60°

∵∠EDF=90°

∴∠BDE=30°

∴DE⊥BE

∴BE=，DE=

如图2，连接DM，则Rt△DEF中，DM=EF=FM

∵∠FDC=∠FCD=60°

∴△CDF是等边三角形

∴CD=CF=1

∴CM垂直平分DF

∴∠DCN=30°

∴Rt△CDN中，DN=，CN=，DF=1

∴在Rt△DEF中，EF==

∵M为EF的中点

∴FM=DM=

∴Rt△MND中，MN=

∴CM=+=

∴==

∴3ED=2MC

（3）如图3，延长FD至G，使得FD=DG，连接EG，BG，则ED垂直平分FG，故EF=EG

∴由BD=CD，∠BDG=∠CDF，DF=DG可得：△BDG≌△CDF

∴∠GBD=∠C=60°，BG=CF=0.8

∴∠EBG=60°+60°=120°

∴∠EBH=60°

过E作EH⊥BG于点H，则BH=BE=3

∴Rt△BEH中，HE==

∴Rt△EHG中，EG==

∴EF的长度为