Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在CO的延长线上，连接BD，已知BC=BD，AB=4，BC=2 ．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB为圆O的直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，∵sinA= = = ，

∴∠A=60°，

∵AO=CO，

∴△AOC为等边三角形，

∴∠AOC=∠ACO=60°，

∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACO=90°﹣60°=30°，

∵∠BOD=∠AOC=60°，

∴∠OBD=180°﹣（∠BOD+∠D）=90°，

∴OB⊥BD，

则BD为圆O的切线

（2）解：∵AB为圆O的直径，且AB=4，

∴OB=OC=2，

∵BC=BD，

∴∠BCD=∠D，

∵OC=OB，

∴∠BCD=∠OBC，

∴∠D=∠OBC，

在△BCD和△OCB中，

∠D=∠OBC，∠BCD=∠OCB，

∴△BCD∽△OCB，

∴ = ，即 = ，

则CD=6

【解析】（1）由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，进而得到三角形ABC为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出sinA的值，利用特殊角的三角函数值求出∠A的度数为60度，再由OA=OC，得到三角形AOC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两个角为60度，进而求出∠BCD为30度，利用三角形内角和定理求出∠OBD为直角，即OB垂直于BD，即可得证；（2）由AB为直径，求出半径为2，由BC=BD，利用等边对等角得到一对角相等，再由OC=OB得到一对角相等，等量代换得到∠D=∠OBC，再由一对公共角相等，得到三角形OCB与三角形BCD相似，由相似得比例，即可求出CD的长．